ГЕОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ КОМБІНАТОРНИХ ТОТОЖНОСТЕЙ
DOI:
https://doi.org/10.31319/2519-8106.1(50)2024.304784Ключові слова:
комбінаторні структури, комбінаторні тотожності, траєкторії, візуалізація, викладання математикиАнотація
Метод траєкторій започатковано у роботі D. Andre. У роботах Б.В. Гнєденка та його учнів згаданий метод було застосовано до задач математичної статистики.
Метод траєкторій в комбінаториці та теорії ймовірностей полягає у зведенні задач до підрахунку шляхів на цілочисельних ґратках. Для доведення комбінаторних тотожностей методом траєкторій обчислюють найкоротші шляхи на ґратках двома способами, і прирівнюючи результати обчислень, отримують ту чи іншу тотожність.
У цій статті пропонується просторова версія методу траєкторій і застосовується для доведення комбінаторних тотожностей.
Розглянуто як узагальнення відомих комбінаторних тотожностей так і доведення нових. Комбінаторні тотожності до водяться із використанням просторової системи координат. Завдяки своїй наочності, метод траєкторій також може бути використаний у навчанні комбінаторних розділів математики. Візуалізація навчального матеріалу є дуже важливою складовою методики викладання. Збільшення розмірності, звичайно, зменшує наочність матеріалу, але часто позитивно впливає на розвиток здатності до логічного аналізу задачі. Подальші дослідження у цьому напрямку можуть бути спрямовані на побудову траєкторій у просторі більшої розмірності та їх візуалізацію, а також на побудову геометричних інтерпретацій відомих комбінаторних тотожностей.
Посилання
Cameron, N., Nkwanta, A. Riordan Matrices and Lattice Path Enumeration. Notices of the American Mathematical Society. 2023. Vol. 70. No. 2. P. 231-243. URL: https://www.ams.org/journals/notices/202302/rnoti-p231.pdf.
Felsne S., and Heldt D. Lattice Path Enumeration and Toeplitz Matrices. Journal of Integer Sequences, 2015. Vol. 18. Article 15.1.3. P. 1-16. URL: https://studylib.net/doc/10376093/lattice-path-enumeration-and-toeplitz-matrices.
Han, Seongjune & Lee, Kyungyong & Li, Li & Loehr, Nicholas. Chain Decompositions of q, t-Catalan Numbers: Tail Extensions and Flagpole Partitions. Annals of Combinatorics. 2022. 26(3): 1-55.
Гуцалюк С.П., Рашевська А.М., Шиян В.О. Візуалізація задач комбінаторики та метод траєк-торій. 2016. URL: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/pmovc/pmovc20/paper/viewFile/10433/8736.
Котова, О.В., Василенко Н.М. Вивчення методу траєкторій розв’язування комбінаторних за-дач в системі гурткової роботи студентів. Актуальні проблеми природнично-математичної освіти в середній і вищій школі : матер. міжнар. наук.-практ. конф. (м. Херсон, 15–16 вере-сня 2016 р.). Вид-во ХДУ. Херсон, 2016. С. 47-49. URL: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/pmovc/pmovc20/paper/viewFile/10433/8736
Loehr N., Mauldin, R. Bijective proofs of Jensen’s and Mohanty-Handa’s identities. Applicable Analysis and Discrete Mathematics. 2013. Vol. 7. Issue 1. P. 11-24. DOI: https://doi.org/10.2298/AADM121030021L
Pąk, Karol. Bertrand’s Ballot Theorem. Formalized Mathematics. 2015. Vol. 22, No. 2, Pages 119–123, URL: https://intapi.sciendo.com/pdf/10.2478/forma-2014-0014. DOI:10.2478/forma-2014-0014
Рашевський М.О. Про викладання комбінаторики у закладах вищої освіти. Фізико-математична освіта. 2018. Випуск 4(18). С. 136-142. URL: https://core.ac.uk/download/pdf/187497188.pdf .
Cameron, N., Nkwanta, A. (2023). Riordan Matrices and Lattice Path Enumeration. Notices of the American Mathematical Society. Vol. 70. No. 2. Retrieved from https://www.ams.org/journals/notices/202302/rnoti-p231.pdf. DOI:10.1090/noti2614.
Felsne, S., and Heldt, D. (2015). Lattice Path Enumeration and Toeplitz Matrices. Journal of Integer Sequences, Vol. 18. Article 15.1.3. Retrieved from https://studylib.net/doc/10376093/lattice-path-enumeration-and-toeplitz-matrices
Han, S. & Lee, K. & Li, L. & Loehr, N. (2022). Chain Decompositions of q, t-Catalan Numbers: Tail Extensions and Flagpole Partitions. Annals of Combinatorics. 26(3). DOI:10.1007/s00026-022-00590-7.
Hutsaluk, S.P., Rashevska, A.M., Shuyan, V.O. (2016). Vizualizacija zadach kombinatoryky ta metod trajektorij. [Visualization of combinatorics problems and trajectory method]. Retrieved from https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/pmovc/pmovc20/paper/viewFile/10433/8736
Kotova, O.V., Vasylenko, N.M. (2016). Study of the method of trajectories for solving combinatorial problems in the system of students' group work. Actual problems of science and mathematics education in secondary and higher education: Proceedings of the International Scientific and Practical Conference (Kherson, September 15–16, 2016). Retrieved from https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/pmovc/pmovc20/paper/viewFile/10433/8736.
Loehr N., Mauldin, R. (2013). Bijective proofs of Jensen’s and Mohanty-Handa’s identities. Applicable Analysis and Discrete Mathematics. Vol. 7. Issue 1. DOI: https://doi.org/10.2298/AADM121030021L
Pąk, Karol. (2015). Bertrand’s Ballot Theorem. Formalized Mathematics. Vol. 22, No. 2. Retrieved from https://intapi.sciendo.com/pdf/10.2478/forma-2014-0014. DOI:10.2478/forma-2014-0014
Rashevs’kyi, M.O. (2018) Pro vykladannja kombinatoryky u zakladakh vyshhoji osvity [About Teaching Combinatorics In The Institutes Of Higher Education]. Physical and Mathematical Education. Issue 4(18). 136-142. DOI 10.31110/2413-1571-2018-018-4-023
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
a. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
b. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
c. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
