ЧИСЛОВИЙ МЕТОД РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ СТЕФАНА З ЯВНИМ ВИДІЛЕННЯМ ГРАНИЦЬ РОЗДІЛУ ФАЗ У БАГАТОФАЗНІЙ ДИФУЗІЙНІЙ СИСТЕМІ
DOI:
https://doi.org/10.31319/2519-8106.1(52)2025.323668Ключові слова:
задача Стефана, чисельні методи, межа розділу фаз, різницева схема, явне виділення рухомої границіАнотація
З розвитком обчислювальної техніки і прогресом в області моделювання фізико-хімічних процесів особливої актуальності набувають способи підвищення точності та спрощення алгоритмів і методів розрахунку математичних моделей.
Дана робота присвячена проблемі Стефана, до якої зводяться завдання теплопереносу з фазовим переходом рідина - тверде тіло і дифузійного масопереносу з фазовими перетвореннями в твердому тілі (розпад твердих розчинів, нанесення дифузійних покриттів). Розглянуто особливості чисельного моделювання задачі Стефана в багатофазних системах.
Проаналізовано можливості та недоліки існуючих чисельних методів вирішення цього завдання.
Запропоновано новий чисельний метод розрахунку задачі Стефана в багатофазних дифузійних системах, який ґрунтується на неявній різницевій схемі. Метод використовує апроксимацію градієнта дифузанта нелінійною функцією безпосередньо біля рухомих міжфазних границь. Наведено, що цей метод сприяє мінімізації помилки розрахунку градієнта концентрації на рухливих міжфазних границях, де сіткова функція зазнає розрив першого роду. Це істотно впливає на точність розрахунку руху між фазних границь, що має суттєве значення при розв’язанні задач Стефана в багатофазних системах.
Порівняння запропонованого алгоритму з існуючими чисельними методами проводилося на модельній задачі реакційної дифузії в твердому тілі, що є задачею Стефана в багатофазних системах, з використанням граничних і початкових умов, які допускають її аналітичне рішення.
Наведено, що реальний розподіл концентрації елемента насичення в усіх шарах фаз дифузійного покриття є функцією, подібною erf-функції від координат. Внаслідок цього, при обчисленні градієнтів концентрації на рухомих границях розділу фаз, при використанні лінійної апроксимації похідних, на кожному кроці за часом виникає помилка. Ця помилка є системною і неминучою під час рішення задачі Стефана чисельними методами з явним виділенням границі фаз. Помилка обчислення градієнтів носить постійний характер, що призводить до системного збільшення швидкості руху границі на кожному часовому кроці розрахунку.
Розроблено спосіб мінімізації помилки апроксимації градієнта з використанням нелінійної апроксимуючої erf-функції, який дозволяє збільшити точність апроксимації градієнту до порядку (h2, τ ).
Розрахунки показали, що запропонований метод має точність, яка не перевищує 0,15 %.
Посилання
Nesterenko, M., Nesterenko, A., & Sakhno, V. (2021). Simplified methods of numerical model-ing of Stefan’s problem with explicit allocate of phase boundaries. Bulletin of V.N. Karazin Kharkiv National University, Series «Mathematical Modeling. Information Technology. Auto-mated Control Systems», 52, 71-81. Available: https://doi.org/10.26565/2304-6201-2021-52-08
Rossalina Albasatin, Sunarsih -, Susilo (2025). Stability analysis of the two-dimensional advec-tion-diffusion equation for particle distribution by the Crank Nicolson-alternating direction im-plicit method. Commun. Math. Biol. Neurosci., 2025(41). Available: https://scik.org/index.php/cmbn/article/view/9120
Gao, G. H., & Sun, Z. Z. (2013). Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions (II). Numerical Methods for Partial Differential Equations, 29(5), 1459-1486. Available: https://doi.org/10.1002/num.21760
Gusev, A. O., Shcheritsa, O. V., & Mazhorova, O. S. (2021). Two equivalent finite volume schemes for Stefan problem on boundary fitted-grids front tracking and front fixing techniques. Differential Equations, 57(7), 876-890. Available: https://doi.org/10.1134/S0012266121070053
Nesterenko, M. G., Nesterenko, O. I., & Sakhno, O. I. (2022). Simplified methods of numerical modeling of Stefan's problem with explicit allocate of phase boundaries. Bulletin of V. N. Karazin Kharkiv National University. Series “Mathematical Modeling. Information Technology. Automated Control Systems”, 52, 71-81. Available: https://doi.org/10.26565/2304-6201-2022-52-08
Krasnoshlyk, N. O., & Bogatyrev, O. O. (2012). Numerical study of diffusional competition of phases based on the quasi-two-dimensional model. Bulletin of NTU "KhPI". Series: Informatics and Modeling [Bulletin of the National Technical University "KhPI". Series: Informatics and Modeling], 62(968), 113-120. Available: http://library.kpi.kharkov.ua/files/Vestniki/2012_62.pdf
Jonsson, T. (2013). On the one dimensional Stefan problem: with some numerical analysis. Available: https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:647481/FULLTEXT01.pdf
Нестеренко М., Нестеренко О., Сахно В. Спрощення методів чисельного моделювання за-дачі Стефана з явним виділенням границь розділу фаз // Вісник Харківського національно-го університету імені В.Н. Каразіна, серія «Математичне моделювання. Інформаційні тех-нології. Автоматизовані системи управління». 2021. (52). C. 71–81. URL: https://doi.org/10.26565/2304-6201-2021-52-08
Albasatin R. et al. Stability analysis of the two-dimensional advection-diffusion equation for parti-cle distribution by the Crank Nicolson-alternating direction implicit method //Commun. Math. Bi-ol. Neurosci. 2025. Т. 2025. С. Article ID 41. URL: https://scik.org/index.php/cmbn/article/view/9120
Gao G. H., Sun Z. Z. Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions (II) //Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2013. Т. 29. №. 5. С. 1459–1486. URL: https://doi.org/10.1002/num.21760
Gusev A.O., Shcheritsa O.V., Mazhorova O.S. Two equivalent finite volume schemes for Stefan problem on boundary fitted-grids front tracking and front fixing techniques. Differential qua-tions. 2021. Vol. 57. No. 7. P. 876–890. https://doi.org/10.1134/S0012266121070053
Нестеренко М.Г., Нестеренко О.І., Сахно О.І. Спрощення методів чисельного моделюван-ня задачі Стефана з явним виділенням границь розділу фаз. Вісник Харківського націо-нального університету імені В.Н. Каразіна Серія «Математичне моделювання. Інфор-маційні технології. Автоматизовані системи управління», 2022, т. 52. С. 71–81. https://doi.org/10.26565/2304-6201-2022-52-08
Красношлик Н.О., Богатирьов О.О. Чисельне дослідження дифузійної конкуренції фаз на основі квазідвовимірної моделі. Вісник НТУ "ХПІ". Серія: Інформатика та моделювання. 2012. № 62 (968). С. 113–120. URL: http://library.kpi.kharkov.ua/files/Vestniki/2012_62.pdf
Jonsson T. On the one dimensional Stefan problem: with some numerical analysis. 2013. 54 с. URL: https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:647481/FULLTEXT01.pdf
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
a. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
b. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
c. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).