ЧИСЛОВИЙ МЕТОД РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ СТЕФАНА З ЯВНИМ ВИДІЛЕННЯМ ГРАНИЦЬ РОЗДІЛУ ФАЗ У БАГАТОФАЗНІЙ ДИФУЗІЙНІЙ СИСТЕМІ

Анотація

З розвитком обчислювальної техніки і прогресом в області моделювання фізико-хімічних процесів особливої актуальності набувають способи підвищення точності та спрощення алгоритмів і методів розрахунку математичних моделей.

Дана робота присвячена проблемі Стефана, до якої зводяться завдання теплопереносу з фазовим переходом рідина - тверде тіло і дифузійного масопереносу з фазовими перетвореннями в твердому тілі (розпад твердих розчинів, нанесення дифузійних покриттів). Розглянуто особливості чисельного моделювання задачі Стефана в багатофазних системах.

Проаналізовано можливості та недоліки існуючих чисельних методів вирішення цього завдання.

Запропоновано новий чисельний метод розрахунку задачі Стефана в багатофазних дифузійних системах, який ґрунтується на неявній різницевій схемі. Метод використовує апроксимацію градієнта дифузанта нелінійною функцією безпосередньо біля рухомих міжфазних границь. Наведено, що цей метод сприяє мінімізації помилки розрахунку градієнта концентрації на рухливих міжфазних границях, де сіткова функція зазнає розрив першого роду. Це істотно впливає на точність розрахунку руху між фазних границь, що має суттєве значення при розв’язанні  задач  Стефана в багатофазних системах.

Порівняння запропонованого алгоритму з існуючими чисельними методами проводилося на модельній задачі реакційної дифузії в твердому тілі, що є задачею Стефана в багатофазних системах, з використанням граничних і початкових умов, які допускають її аналітичне рішення.

Наведено, що реальний розподіл концентрації елемента насичення в усіх шарах фаз дифузійного покриття є функцією, подібною erf-функції від координат. Внаслідок цього, при обчисленні градієнтів концентрації на рухомих границях розділу фаз, при використанні лінійної апроксимації похідних, на кожному кроці за часом виникає помилка. Ця помилка є системною і  неминучою під час рішення задачі Стефана чисельними методами з явним виділенням границі фаз. Помилка обчислення градієнтів носить постійний характер, що призводить до системного збільшення швидкості руху границі на кожному часовому кроці розрахунку.

 Розроблено спосіб мінімізації помилки апроксимації градієнта з використанням нелінійної апроксимуючої erf-функції, який дозволяє збільшити точність апроксимації градієнту до порядку (h², τ ).

Розрахунки показали, що запропонований метод має точність, яка не перевищує 0,15 %.