МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ОПИСУ ПОВЗУЧОСТІ СТАРІЮЧОГО БЕТОНУ ЗА ДОПОМОГОЮ КАНОНІЧНИХ ПОЛІНОМІВ ТА τ-МЕТОДУ ЛАНЦОША

Анотація

Числові експериментальні дослідження, проведені у світі, показали, що в бетонних та залізобетонних конструкціях, що знаходяться під тривалою дією навантажень, виникають непружні деформації, які в кілька разів можуть перевищувати початкові пружні деформації. Тому питання проектування тривалого деформування бетону в часі є актуальним та має важливе значення.

У статті наводиться математична модель опису повзучості старіючого бетону за допомогою канонічних поліномів і методу Ланцоша. Наведений розв’язок задачі реологічної поведінки старіючого бетону враховує як ефекти спадкового характеру і зміну в часі модуля пружності, так і вплив віку матеріалу до моменту навантаження на граничні деформації повзучості.

Запропонована математична модель має наступні переваги:

1) поданий розв’язок має форму полінома невисокого степеня, зручний для аналізу і досягається простими засобами та не вимагає залучення досить складної теорії гіпергеометричних функцій;

2) такий розв'язок не пов'язаний із завданням підсумовування ряду та оцінкою його залишку, що при використанні гіпергеометричних функцій, не табульованих для ряду значень параметрів, викликає додаткові труднощі. Розв’язок в гіпергеометричних функціях являє собою ряд, що швидко збігається лише в околі тієї чи іншої точки інтервалу. Тому для різних точок будуються різні за формою розв’язки. Метод Ланцоша рівносильний пошуку розв'язку у формі розвинення за поліномами Чебишова. При цьому досягається рівномірна збіжність на інтервалі в порівнянні з використанням звичайних степеневих рядів.

3) застосований метод Ланцоша дозволяє побудувати поліноми, які наближають шуканий розв’язок диференціального рівняння до точного приблизно в  разів краще, ніж часткові суми n-го порядку ряду Тейлора, якими в розглянутій задачі і є гіпергеометричні функції.

Практичне значення роботи полягає в тому, що запропонований підхід можна використовувати до розв’язування подібних задач.